数字图像处理 | 图像二值化中的规则抖动算法
前言
在只有黑色墨水的印刷机上只能搞出黑白的图形，那么问题就来了，印刷机里并没有灰色的墨，图片里的灰色阴影是怎么弄出来的？
印刷机处理灰色的方式，是通过控制区域内小墨点的密度来实现的。很好理解，如果不印任何黑点，这个区域就是白色，如果印满黑点，这个区域就是黑色，自然地，我们能推理出：印的黑点越密，显得颜色越深。在老式的报纸上能观察到这种效应。
报纸上的图片的放大，这张报纸是通过控制墨点的大小来控制密度的
如果墨点的大小是不变的，通过改变区域内墨点的数量，来使人看到不同的灰度，这种方法叫做图像抖动。而计算显出来的灰度和打印墨点数量之间关系的算法（抖动算法）主要有规则抖动和误差扩散抖动，由于通过规则抖动会使图像出现一些有意思的情况，故潘老师这次主要研究的是规则抖动算法。
这次写的东西在网上能找到的参考资料比较匮乏，潘老师通过自己尝试以及瞎猜，总结了一下，并且得出了一些没什么用的结果。对算法、数学恐惧或是不想动脑思考的同学可只看图片。
计算过程
规则抖动，顾名思义，可以理解为他的抖动方法是有一定规则的。规则就来自于Bayer抖动表。至于为什么叫Bayer抖动表，潘老师也不太清楚，只知道仿佛并不是叫Bayer的人发明的这个方法。这是Bayer抖动表的计算过程：
通常大家会取M3作为Bayer抖动表。为了不想看见数学式子直观的看到Bayer抖动表里面到底是什么样的，潘老师让MATLAB计算了一下M3：
用大白话解释规则抖动算法的想法：给你一个点的灰度值，在这个点的位置上要不要打印墨点？你这时候就去立刻拿来Bayer抖动表，从里面随机挑选一个数，如果挑到的数大于这个点的灰度值，就打上墨点，不然就不打。（关于灰度值的解释：灰度值越高，就越趋于白色。灰度值越低，越趋于黑色。）
这样会发生什么事呢？假设给我一个区域，这里面大多是很深的颜色（假如灰度值是10），那么我均匀地随机在Bayer抖动表里挑到的数，大部分（从11到63）都会大于这个很深的颜色（10），结果就会导致大部分点都被打上墨点，呈现的视觉效果确实是很深的颜色。
如果考虑极端情况。给我的一个区域是纯黑色。那么我在这个表里，不管怎样取数，都会大于我手里的纯黑色，所以导致，每个点都打墨点，所以就铺满了墨点就呈现黑色了。同理，给我一个纯白的区域，我在这个表里，不管怎么取数都会小于纯白色的灰度值，所以总是没有墨点打在纸上，就呈白色了。
算法思想非常简单，但是具体实现算法的时候，我们用另一种方法在抖动表里取值，方法是：用图像里的点的（x，y）坐标与抖动表的尺寸取余。具体操作的过程大概就是，随着我在图片上取点的位置一格一格移动，我在抖动表里取数的位置也在移动。对于一个足够大的区域来说，这个区域呈现的色彩可以均匀的被抖动表里所有元素“判断”一遍，在宏观上呈现预期的概率分布。通过这种方法抖动出来的图是很有特点的，如下图。也正因如此，他叫做规则抖动。
灰阶图以及其规则抖动图，一个方格代表一个像素点。为了观察方便，图片被放大了
还有一点，因为实际图像灰度范围是0-255，然而Bayer抖动表里的数字范围是0-63，所以对源图像还要进行范围的压缩。以下是使用MATLAB进行抖动表的生成和抖动的算法，供学有余力想要研究技术细节的同学参考。需要完整代码的请前往github
m1 = [[ 0 2 ];
[ 3 1 ]];
u1 = ones(2, 2);
m2 = [[ 4*m1 4*m1+2*u1 ];
[ 4*m1+3*u1 4*m1+u1 ]]
u2 = ones(4, 4);
m3 = [[ 4*m2 4*m2+2*u2 ];
[ 4*m2+3*u2 4*m2+u2 ]]
OuputM3 = 0;
for i = 1:height
for j = 1:width
ImageColor = GrayImage(i,j) / 4;
BayerMatrix = m3(bitand(i,7) + 1, bitand(j,7) + 1);
if ( ImageColor <= BayerMatrix )
OuputM3(i,j) = 0;
else
OuputM3(i,j) = 255;
end
end
end
Image8BitM3 = uint8(OuputM3);
当然，使用M4的Bayer抖动表就不需要压缩取值范围了，M4的抖动表可以做到一个实际的灰度值对应一种取值概率，即一种抖动花纹，我们也可以称其为标准图案，即每种灰度值所对应的黑白点拼出来的图案。但是实际上用M3已经足够，所以下文均以M3作为抖动表。
4阶抖动表与3阶抖动表生成的结果相差不大
实际图像
实际图像应用抖动算法的效果（已重新缩放）
多折腾折腾
以上是图像中只含有黑白点（二值）的情况，接下来考虑多值的（以4个值为例——白，浅灰，深灰，黑）规则抖动。潘老师没有查找到相关的资料，干脆直接用了最简单粗暴的方法，就是，将Bayer抖动表通过运算处理成3个取值域）(0-21，22-43，44-63)，将图形色彩也划分为对应的4个取值域，分别在各自域内做规则抖动。经过测试证明这个方法还是可以接受的。
二值规则抖动和4值规则抖动的对比，在使用同样的Bayer抖动表的基础上，4值过渡更加平缓
实际图像应用的效果
算法见代码部分。需要完整代码的请前往github
output = zeros(height, width);
for i = 1:height
for j = 1:width
BayerMatrix1 = m3(bitand(i,7) + 1, bitand(j,7) + 1) / 3;
BayerMatrix2 = 21.3333 + BayerMatrix1;
BayerMatrix3 = 21.3333 + BayerMatrix2;
ImageColor = GrayImage(i,j) / 4;
if (ImageColor >= 0 && ImageColor < 21)
if (ImageColor > BayerMatrix1)
output(i,j) = 84;
else
output(i,j) = 0;
end
elseif (ImageColor >= 21 && ImageColor < 43)
if (ImageColor >= BayerMatrix2)
output(i,j) = 171;
else
output(i,j) = 84;
end
else
if (ImageColor >= BayerMatrix3)
output(i,j) = 255;
else
output(i,j) = 171;
end
end
end
end
老师，能再给力点吗？
潘老师知道彩色图像是由RGB三个通道组成的，每个通道实际上都是类似灰度的表达方式，但是通过某种神力，三个通道的数值合成后就成为了我们能看到的彩色。如果分别对三个通道做抖动。那么R、G、B三色就分别只有0和1的取值，排列组合，会出现8种颜色。
用一个实际的彩色图像看看效果。（算法和之前的都类似，不再列出）
老师，能再给力点吗？
若是对RGB三个通道也分别进行4值抖动，那么可获得的色彩范围就更多了（4×4×4=64种），颜色也就更加准确了，算法也与灰度4值抖动相仿。
虽然放大来看图像上会有条块状纹理出现，但如果远观的话这幅图的细节已经还原出很多了。抖动算法最主要的应用价值在于他可以极大的压缩图像存储空间，主要是因为色彩空间被压缩了，原本需要256个数值表达的灰度图我甚至可以只用黑白两色表达。（在均采用PNG格式编码的条件下，测试用的原图798KB，RGB通道二值化后95.8KB，RGB通道4值化后148KB，压缩效果明显）当然如果合理看待这些条块的话，可以把他看作一种比较独特的滤镜（这样说的话，Bayer抖动表就是一种滤波器）。
【注】写推送使用的配图都是低分辨率然后放大过的，为的是各位观察方便。实际使用代码生成的图片中，上面那些图里的一个小方格就是一个图片像素点。